Compito Fisico-Matematico

Partendo dal concetto di "Corrente elettrica" calcolata per intervalli di tempo infinitesimi, dare la definizione di "derivata", soffermandosi anche sul suo significato geometrico. Inoltre presentare alcune situazioni particolari che mettano in evidenza il legame tra la tangente alla curva di equazione y = f(x) e la derivata f1(x).

Quale altro concetto fisico può essere introdotto con l'uso delle derivate ?

Il passaggio della corrente elettrica attraverso un filo conduttore produce un campo magnetico. Spiegare le principali caratteristiche di tali enti fisici, con particolare riguardo ai fenomeni del magnetismo terrestre e della inversione dei poli magnetici terrestri, soffermandosi sul procedimento seguito per verificare l'ultima affermazione.

        Supponiamo che due conduttori sferici A e B, con raggi rispettivamente R1 ed R2, posseggano stessa carica elettrica (vedi fig.1). Se R1 > R2 , il potenziale VA del conduttore A risulta essere minore del potenziale VB del conduttore B, in quanto, dalla formula V= [1/(4pe0)] Q/R , si evince che il potenziale V è inversamente proporzionale al raggio R.

Se colleghiamo i due conduttori con un filo metallico, si stabilirà tra di essi un flusso di elettroni da A a B. Il conduttore A, perdendo elettroni di conduzione, aumenta la sua carica positiva, mentre il conduttore B, acquistando elettroni di conduzione, la diminuisce.

Come conseguenza del flusso di elettroni si ha perciò che VA aumenta e VB diminuisce. Quando i potenziali diventano uguali, cessa il movimento degli elettroni e i conduttori raggiungono uno stato di equilibrio elettrostatico.

Se però gli stessi conduttori presentano carica opposta (positiva il conduttore A, negativa il conduttore B), si viene a creare nel filo metallico una d.d.p. DV che comporterà un flusso di elettroni da B ad A allo scopo di annullare le cariche positive del conduttore A (vedi fig.2).

Tale attraversamento ordinato di cariche da un corpo a potenziale minore ad uno di potenziale maggiore è detta corrente elettrica. Nei conduttori metallici la corrente elettrica è costituita dal movimento di elettroni, cioè di cariche negative, mentre nelle soluzioni elettrolitiche e nei gas, essa è originata dal movimento di ioni sia positivi che negativi.

Agli inizi del XIX secolo, quando venne data la definizione di corrente, non erano stati ancora scoperti gli elettroni e quindi si definì per convenzione come verso di tale spostamento quello secondo cui si muovono le cariche positive e cioè quello opposto al reale moto degli elettroni.

Tenendo presente la fig.2 e studiando le caratteristiche macroscopiche di un generico punto P del filo in un intervallo di tempo Dt, è possibile ricavare la formula Dq = n e Dt , dove per Dq si intende la quantità di carica che attraversa la sezione del filo, per n il numero di elettroni passanti nel punto P in un certo arco di tempo Dt e per e la carica elementare dell'elettrone (1,18×10-19).

L'intensità di corrente indicata con i è uguale a Dq/Dt e nel Sistema Internazionale SI si misura in Ampere (A).

Si dice che un conduttore è attraversato dalla corrente di 1 Ampere se attraverso una sua sezione qualsiasi passa la carica di 1 Coulomb in ogni secondo; per questo:

La formula precedente vale in generale se Dt è abbastanza grande; se invece Dt® 0, allora bisognerà calcolare l'intensità di corrente i come:

limDt® 0 Dq / Dt

e cioè come rapporto incrementale:

dove dq e dt sono rispettivamente la derivata della carica q e quella dell'intervallo di tempo infinitesimo t.

Per chiarire meglio i concetti di "rapporto incrementale" e di "derivata", è opportuno fare le seguenti premesse:

Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b) e indichiamo con x0 un punto interno a questo intervallo. Se da x0 si passa ad un altro punto qualunque x0 + h, dell'intervallo (a,b), si dice che si è dato alla variabile x l'incremento h.

La differenza f(x0 + h) - f(x0), tra i valori che la funzione assume quando la variabile x passa dal valore x0 al valore x0 + h, si chiama incremento della funzione (esso può essere positivo, negativo o nullo).

Si chiama invece rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x0 e all'incremento h il rapporto:

{f(x0 + h) - f(x0)}/h

Questo rapporto, una volta fissato x0, varia al variare di h, cioè esso è una funzione della variabile h, definita per ogni valore di h, con h¹0 e con il punto x0 + h Î all'intervallo (a,b).

E' perciò detta derivata della funzione f(x), nel punto x0, il limite di h®0 (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale [ f(x0 + h) - f(x0)] / h .

La suddetta derivata è anche uguagliabile al coefficiente angolare della tangente alla curva di equazione y = f(x) nel punto di ascissa x0 (vedi fig.3).

Detto w l'angolo che l'asse x forma con la retta tangente alla curva y = f(x), nel punto P0 di ascissa x0, la derivata f1(x0) risulterà essere uguale alla tg dell'angolo w.

f1(x0) = tg w

Quando risulta f1(x0) = 0, si ha: w = 0, e la tangente in P0 alla curva y = f(x) è parallela all'asse x.

Quando, invece, esistono in x0 , diverse tra loro, le due derivate, sinistra e destra, allora la curva ammetterà in P0 due tangenti diverse t1 e t2 (vedi fig.3), posizioni limite delle secanti P0P1 al tendere di P1 a P0 , rispettivamente, dalla sinistra alla destra.

Tutti i punti come P0 si chiamano punti angolosi della curva y = f(x).

Inoltre, nel caso in cui i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale tendano rispettivamente a + ¥ o a - ¥ , si avrà una cuspide rivolta verso il basso; se invece gli stessi limiti (dx e sx ordinatamente) tendono rispettivamente a - ¥ e a + ¥ , la cuspide sarà rivolta verso l'alto (vedi fig.4 e 5).

Ovviamente, come del resto abbiamo già visto per la corrente elettrica, l'importanza e l'uso pratico delle derivate non sono esclusivamente ad appannaggio della matematica, ma sono anzi spesso sfruttati in applicazioni scientifiche in vasti campi di studio ed in particolare in quello fisico che si serve ad esempio di essi per dimostrare che il campo elettrico all'interno di un conduttore è nullo. Infatti:

L = qE × DS

da cui :                        F = q × E

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per la carica q :

si ha:

Se Ds®0 allora:

E = limDs®0 DV /DS = dV / dS

Il campo elettrico E risulta quindi essere pari al differenziale del potenziale elettrico rispetto allo spostamento DS.

Se ora voglio calcolare il campo elettrico all'interno di un conduttore generico, mi devo accertare che esisti una d.d.p.

Dire che in un conduttore esiste una d.d.p. tra un punto A e un altro B, significa dire che le cariche negative (elettroni) sono addensate maggiormente in una parte (comprendente A) che in un'altra (comprendente B).

Se ciò avviene, naturalmente le cariche tendono a spostarsi da punti a potenziale minore (in cui c'è una maggiore densità di cariche negative) a punti a potenziale maggiore (in cui c'è una minore densità di cariche negative), in modo da annullare le differenze di cariche; quindi si giungerebbe ad una situazione di equilibrio elettrostatico, già vista in precedenza, in cui tutti i punti del conduttore hanno stesso potenziale V=K.

Calcolando a questo punto il campo elettrico E come dV/dS, poiché la derivata di una costante è 0, il campo elettrico risulterà nullo.

Ritornando al concetto di corrente elettrica, uno degli effetti più importanti del passaggio di corrente in un conduttore è certamente la produzione di un campo magnetico attorno al conduttore stesso. Il campo magnetico prodotto da una corrente elettrica è identico al campo prodotto da un magnete; quando un conduttore costituito da un materiale qualsiasi, anche non magnetico, viene percorso da corrente, esso si comporta come un magnete la cui forza dipende dall'intensità della corrente che influisce in esso.

Anche se fin dai primi esperimenti si sospettò che potesse esistere una qualche relazione tra elettricità e magnetismo, bisogna giungere agli inizi del XIX secolo perché il puro sospetto potesse diventare certezza scientifica.

La scoperta di una certa interazione tra corrente elettrica e campo magnetico è da attribuirsi al celebre fisico danese Hans Christian Oersted, che, stupefacentemente, il 21 luglio 1820, si accorse che un ago magnetico, posto al di sotto di un filo conduttore parallelamente a questo, si disponeva perpendicolarmente se il filo conduttore era percorso da corrente elettrica sufficientemente intensa; notò anche che il verso della deviazione dell'ago dipendeva da quello della corrente elettrica nel filo. La sua esperienza, ripetuta più volte da diversi fisici, venne sintetizzata nel seguente assunto:

L'andamento delle linee di forza del campo magnetico generato è quello di circonferenze concentriche con il centro sul filo; il verso delle linee di forza è quello secondo cui ruota una vite destrogira che avanza nel verso della corrente. Esempi simili a quello del filo rettilineo sono dati per esempio dall'osservazione di campi magnetici generati da spire percorse da corrente e individuabili attraverso il metodo della limatura di ferro (la limatura descriverà le traiettorie delle linee di campo).

Inoltre, è opportuno dire che il campo magnetico prodotto dalla corrente elettrica è abbastanza debole, a meno di usare correnti molto intense. Per rinforzare il campo si possono però usare almeno due metodi efficaci.

Il primo consiste nel sommare il campo prodotto da zone diverse dello stesso conduttore avvolgendolo attorno a un supporto; si ottiene così un solenoide, all'interno del quale il campo magnetico è intenso, anche se la sua azione si fa sentire in una zona molto più ristretta.

L'altro metodo consiste nell'avvolgere il solenoide attorno ad un supporto di ferro, in modo che esso si magnetizzi per induzione e, per così dire, concentri ulteriormente l'effetto del campo magnetico della corrente.

L'apparecchio che così si ottiene si chiama elettromagnete e si comporta come un vero e proprio magnete sino a che nel solenoide circola corrente elettrica: quando il passaggio di corrente elettrica termina, l'elettromagnete perde tutte le sue proprietà magnetiche.

Le principali proprietà di un magnete o meglio della magnetite (il materiale di cui sono composte le calamite naturali) erano già ben note nel 600 a.C. al filosofo matematico Talete di Mileto, che, trovandosi in Asia Minore e osservando qualche minerale di ferro proveniente dalla Magnesia, per primo, nella storia della fisica, ha lasciato ai posteri, nero su bianco, importanti constatazioni sulle caratteristiche di tali enti fisici. Oggigiorno, ormai, a distanza di ben 2600 anni, è a noi ben noto che un ago magnetico, libero di ruotare intorno ad un asse verticale, si dispone in modo che una delle due estremità si orienti verso il Nord terrestre e l'altra verso il Sud; le due estremità del magnete sono chiamate rispettivamente polo Nord magnetico e polo Sud magnetico. La forza magnetica è molto simile alla forza elettrica, per esempio diminuisce al crescere della distanza (forza m. e distanza sono inversamente proporzionali), può essere sia attrattiva che repulsiva, viene generata da un polo positivo e uno negativo, ma presenta anche alcune importanti differenze, la prima delle quali è certamente l'impossibilità di separare il polo N dal polo S: i poli vanno sempre in coppia. Si pensi ad un magnete a sbarra i cui poli si trovano alle due estremità: se si tenta di separare i due poli spezzando o tagliando la sbarra a metà si ottengono due nuovi magneti completi, ognuno dei quali con un polo N e un polo S. Poche sono le sostanze che presentano effetti magnetici: tra gli elementi chimici, solo il ferro, il cobalto e il nichel sono magnetici. La mescolanza di questi elementi con altri elementi non magnetici permette però di ottenere leghe metalliche dalle proprietà magnetiche particolari. Il ferro puro si magnetizza rapidamente ma altrettanto rapidamente si smagnetizza e viene quindi usato in magneti temporanei. L'acciaio, una lega di ferro e carbonio, conserva molto più a lungo la magnetizzazione e con esso si costruiscono i magneti permanenti. Per la costruzione di magneti permanenti molto potenti e leggeri si è soliti usare l'alnico, una lega speciale di alluminio, nichel e cobalto.

Il più grande magnete "permanente" (nel senso che è sempre là da miliardi di anni) da noi terrestri meglio conosciuto è la Terra. Il nostro pianeta, infatti, nella sua parte più interna, si ritiene che sia costituito da un grandissimo nucleo ferroso che, se ipotizzassimo la Terra a più o meno a dimensioni umane (con un diametro di due metri, per esempio), avrebbe il raggio pari a 0,525 m e cioè più della metà del raggio terrestre.

L'importanza di tali dimensioni non è poca, tanto che è in esse ricercabile la causa dell'intenso campo magnetico che fa risentire i suoi effetti fino a 75 Km di altezza, costituenti la cosiddetta magnetosfera. La posizione dei convenzionali poli geografici, individuati lungo l'asse polare, non coincide, però, con quella dei poli magnetici che generano la suddetta magnetosfera, ma dista da questi (dai poli magnetici) circa 1480 Km, facendo di conseguenza inclinare l'asse magnetico di 10°56' rispetto all'asse polare (vedi fig.6).

Il campo magnetico terrestre ha anche un'intensità i=A/m , che varia a secondo della costituzione geofisica e geologica dei diversi punti del pianeta.

Attraverso studi sul paleomagnetismo, è stato sorprendente rilevare come l'intensità e il verso del campo magnetico terrestre non siano stati sempre i medesimi. Infatti, ricerche fatte su basalti vulcanici, contenenti cristalli di magnetite, si è giunti ad affermare che molto probabilmente circa 500.000 anni fa' la nostra Terra abbia avuto i poli magnetici invertiti.

Infatti, i cristalli di magnetite, hanno la proprietà di orientarsi con il campo magnetico terrestre; nel momento in cui le lave basaltiche si solidificarono, le magnetiti rimasero nella posizione assunta prima della solidificazione e quindi rispondenti al campo magnetico terrestre di quel particolare periodo geologico. Alcuni studiosi di tale fenomeno sostengono che il nostro pianeta abbia effettuato ben 171 inversioni in 76 milioni di anni e almeno 2 nel corso di quest'ultimo milione. Non è perciò da escludere, anzi potrebbe essere una certezza, che tempo fa' i poli magnetici della Terra siano coincisi con il nostro equatore o siano stati perfettamente allineati con l'asse polare geografico, calcolando anche che quest'ultimo ogni 40.000 anni oscilla fra un massimo di 24°21' e un minimo di 21°55'. E noi "poveri mortali centenari" non possiamo far altro che aspettare, a testa in giù magari, che il nostro caro pianeta-acrobata riprenda le sue "esibizioni magnetiche" nello spazio, per osservare, meglio di quanto si è potuto fare sino ad oggi, il funzionamento bizzarro di questa grande e formidabile "dinamo-Terra".

Io assisterò allo spettacolo ! E voi che fate?